Sümer Matematiği

Antik Yunan Aldatmacası'nın bir bölümüdür.

Sümerler, aritmetikte olduğu gibi geometride de ileriydi. Yakın zamanlara kadar, geometrideki temel gelişmeler “Helen-Hristiyan ülküsü” saplantısı dolayısıyla, Batılı araştırmacılar tarafından hep Yunanlı matematikçilerin başarı hanesine yazılır ve başka kavimlerin herhangi bir başarıya ortak edilmesi istenmezdi. Ne var ki tarihi gerçekler böyle değildir.

Matematik tarihinde Yunanlı üç ünlü matematikçiden söz edilir.  Bunlar Tales (MÖ. 624-546), Pisagor (MÖ 572-490) ve Öklid (MÖ 365-300)’tir. Matematik tarihinde kayda değer bütün başarılar bu üç matematikçinin başarısına indirgenir.Tales teoremi, Pisagor teoremi ve Öklid bağlantıları, onlardan en az bin yıl önce Mısır’da, Sümer’de, Elam’da ve İndüs’te bilinmekteydi ve okullarda ders olarak okutulmaktaydı.  Öklid geometrisinin belli başlı konularını kapsayan birçok analitik geometri sorusu, Sümer’de öğrencilerin önüne konuluyordu. 

Tales aslen Fenikelidir.  Ailesi sonradan Anadolu'nun batısında, Ege bölgesinde (klasik adı Meander olan) 'Büyük Menderes Nehrinin hemen ağzına yakın deniz kıyısında antik bir liman şehri olan Milet’e yerleşmiştir. Babası yunanca bilmezdi. Tales’ten bin yıl önce bile önemli bir kent olan Milet, Hitit belgelerinde de adı Milavanda olarak geçer.
Rodos’lu Eudemos, Mö 4. Yüzyılda yazdığı “Matematik Tarihi” adlı eserinde, Tales’i, geometriyi Mısır’dan Hellas’a getiren kimse olarak tanıtır.

Pisagor,  Doğu’da, matematiğin doğduğu ülkede 20 yıldan fazla kaldı. Babil’de, İndus’ta ve Mısır’da matematik ve felsefe öğrendi. Mısır’da Firavun Amasis (MÖ 570-526) onu Memfis rahipleriyle tanıştırdı. Amasis, o sıralarda Babil kralı Nebukadnezar’a karşı Yunanlılarla ittifak yapmak için Yunanlıları hoş tutmaya çalışıyordu. Eski Yunan’da gizli bir din okulu kurdu. Öklid ise İskenderiye’lidir.

Mezopotamya’daki yazıcı okulları, bir anlamda günümüzün araştırma enstitüleri gibi işlev görürlerdi. Öğretim için var olan bilgiler toplanıyor, düzenleniyor ve bir yönteme göre öğrencilere aktarılıyordu. Yazıcının eğitim ve öğretimi  yalnızca okuma ve yazma ile sınırlanmış değildi; beklenen işlevleri yerine getirebilmesi için  matematik de bilmesi gerekiyordu.  

Çeşitli müzeleri süsleyen birçok belge, matematiğin  kökenlerinin kadim Yunan değil, Sümerlere dayandığını apaçık kanıtlamaktadır. 

Sümer çağına ait pek çok eser Londra’da British Museum’da sergilenmektedir. Eserlerin önemli bir bölümü ise Babil Müzesi’nde sergilenmekteydi. Ancak Amerikan saldırısında müze soyuldu. Binlerce eserden tek bir ipucu bile bulunamadı. ABD, ne nükleer silah, ne kimyasal silah buldu. İnsanlık tarihinin en eski ve belki de en önemli eserleri çalındı.

Uruk IV katmanında (MÖ. 3100) çok çeşitli tabletler yanında matematik, astronomi ve benzeri bilimsel metinler bulunmuştur. Ancak en önemli matematik tabletleri eski bir  Sümer yerleşmesi olan Şaduppum’da (bugünkü Tel Harmal)’da bulunmuştur. 
Bugünkü Bağdat varoşlarındaki Tel Harmal, Hammurabi fetihlerinden önceki dönemde Eşnunna hükümranlığı sırasında eski Şaduppum kenti olarak bölgenin idari merkeziydi. Bu ad “hazine, muhasebe ofisi” anlamına gelir. Bu höyük Irak Eski Eserler Dairesi tarafından kazılmış ve Babil yönetimiyle ilgili 4000 yıllık eşsiz kanıtlar; çok sayıda çivi yazılı belge elde edilmiştir. Bu belgeler arasında idari ve edebi metinler, mektuplar, yasa derlemeleri, coğrafya, zooloji ve botanik terimlerinden oluşan uzun listeler ve belki de en ilginç olanı, bir grup matematik metni vardır. Bunlar, diğer bazı tabletler gibi, orada bulunmuş olması gereken bir yazıcılık okulu öğrencileri tarafından kopya edilen metinlerdir. Olağanüstü bir matematik bilgisi önümüze sererler.

Tel Harmal’da bulunan metinlerden başka MÖ. 1900’de Mısır’da yazılmış “Moskova Papirüsü”, MÖ 1850 yıllarında yine Mısır’da yazılmış “Rhind Papirüsü” ile aynı dönemlerde Sümer’de yazıldığı anlaşılan “Plimpton 322 tableti” ve adını Kahun kentinden alan-  Kahun Papirüsleri,  matematik tarihinin en önemli ve en eski belgeleridir. Bu belgelerde yer alan problemler ve çözümler Tales, Pisagor ve Öklid bağıntıları ile ilgilidir ve geometrik problemler üzerinde durulmuştur.

Rhind Papirusü, MÖ 1650 yılında Rahip Ahmes’in (Ahmose) 200 yıl öncesindeki eski metinlerden kopya ettiği bir  matematik papirüsüdür. 6 metre uzunluğunda ve 33 santim genişliğinde bir rulodur. Papirüs, 1858 yılında İskoçyalı araştırmacı Alexander Henry Rhind (1833-1863)  tarafından Nil ırmağı kıyısındaki küçük bir kasabadan satın alınmış ve bu nedenle Rhind Papirüsü adını almıştır; Ahmes Papirüsü adıyla da bilinir. British Museum’da, Rhind kolleksiyonu arasında bulunan papirüs tomarının kılıfı şu başlığı taşır: “Doğayı inceden inceye araştırmanın ve var olan her şeyi öğrenmenin kuralları.Bu rulo, kral Aauserre’nin otuz üçüncü hükümdarlık yılında, kral Nemare (MÖ 1880-1850) zamanında yazılmış eski bir kitabın tıpatıp kopyasıdır. Bu kopyayı çıkaran yazıcı Ahmes’tir.” Papirüsün içeriğinde  85 adet problem ve çözümleri bulunmaktadır.

Moskova papirusu ise Mısırbilimci (egyptologist) Vladimir Golenishchev tarafından 1892 de Mısır’da satın alınmıştır. Rind papirüsünde 200 yıl kadar daha eskidir. Bugün Moskova’da Pushkin State Museum of Fine Arts’ da sergilenmektedir. İçerisinde 25 adet problem ve çözümleri vardır.

Plimpton 322 tableti ise Columbia Üniversitesinde G.A. Plimpton koleksiyonunda bulunan 322 numaralı tablettir.Pisagor üçlüsü problemi üzerinde durulmuştur tablette. (Pisagor üçlüsü; olacak şekilde (a,b,c) üçlüleri bulma problemidir).

Ayrıca günümüzde bundan başka 300 civarında Babil tableti vardır, bunların okunma çalışmaları çeşitli müzelerde halen devam etmektedir.

Asurbanipal (MÖ 668-627 arasında hüküm sürmüş son büyük Asur kralı)  tarafından Ninova’da bir araya getirilen bir kütüphanenin kalıntılarında Layard ve meslektaşları 25.000 tablet çıkardı, bunların bir çoğu kadim katipler tarafından  “eski metinlerin” kopyaları olarak tarif edilmişlerdi.   İçlerinde matematik tabletleri de vardı. Bir tablette Asurbanipal’in ağzından şu ifadeler vardı: “katiplerin tanrısı, bana sanatının bilgisini lütfedip hediye etti. Yazının gizlerine inisiye edildim. Şumerce yazılmış olan çetrefilli tabletleri bile okuyabilirim, Tufandan önceki günlerin taş yontularındaki muammalı sözleri anlıyorum.”

 Asurbanipal akademik başarılarıyla övünmekteydi. Ünlü bir yazıtta okul günlerinden şöyle söz eder: “Yazıcılık bilgilerinin bütün gizlerini öğrendim. Karmaşık matematik evrik değerleri ve çözümsüz gibi görünen çarpımlar yapabilirim. Sümercesi çapraşık, Akadcası zor anlaşılır tabletleri okuyabilirim…"

Bilinen matematik belgelerinin çoğu Tel Harmal’dan gelenler gibi okul metinleridir. Bunlar eski Babil devrine aittir ve o dönemde sistemin tam anlamıyla gelişmiş olduğunu gösterir. Çarpma ve bölme işlemleri, kare ve karekök hesapları, küp ve küp kökler, evrik değerler, üslü fonksiyonlar, bazı kübik denklem çözümleri için gerekli kare ve küp toplamlarıyla ilgili tablolar, daha o dönemde tabletlere geçirilmiş durumdadır. Bir tablette kuralsız sayıların evrik değerleri için yaklaşık sonuçlar hesaplanmış, karekök 2 ve karekök 3 için yaklaşık değerler elde edilmişti. Bu tablolar sistemi, MÖ 1800 deki şekliyle bile Babillileri eski çağın tüm matematikçilerinin önüne geçirmeye yeter. Plimton 322 tabletinde toplam 15 adet Pisagor üçlüsü bulunmaktadır ve içlerinde  (13500, 12709, 18541) gibi büyük üçlüler de vardır. Pisagor teoremi olarak bilinen kuralın, Pisagor’dan çok önceden beri Babillilerde kullanılıyor olduğu, Plimpton 322 ve diğer Babil tabletleri sayesinde günümüzde kabul görmektedir. Plimpton 322 de başka konular da ele alınmıştır. Örneğin  kök2 sayısının yaklaşık değeri için: kök2 = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421297... formülü kullanılarak virgülden sonra 5 basamakla yaklaşılmıştır. Solda, Tales'e, Pisagor'a ve Öklid'e dayandırılan bilgilerin Sümer'de öğretildiğinin kanıtı olan tabletlerden biri.Bir dik üçgen üzerinde birbirini izleyerek çıkarılan diklerin uzunluklarını Sümerli matematikçiler hesaplayabilmekteydi.

Tablolu metinler dışında, cebir ve geometri problemlerinin formülasyon ve çözümüyle ilgili çok çeşitli problem metinleri de vardır. Bunlara su kanalı kazmak veya genişletmek, askeri mühendislik, toprak taşıma, mesaha surveyleri gibi, günlük pratik konular da dahildir. Aritmetik tablolarının çoğu, ağırlık ve ölçü tablolarıyla birleştirilmiştir. Üslü fonksiyon tabloları bileşik faiz hesaplarında da kullanılırdı. Ve tuğla, asfalt, bakır ve arpa gibi gündelik maddelerle ilgili özel “katsayı” tabloları da vardı.

Babil matematiğinin daha çok cebirsel olarak işlediği görülür. Çok sayıda problem, olağan ikinci derece denklem formuna indirgenerek çözülmüştür; bu da dikkate değer bir gelişmedir. Ayrıca dördüncü ve altıncı dereceden özel tip denklem çözümleri ayarında örnekler de vardır; Susa’da bulunan bir tablette, sekizinci derece özel bir denklem karşımıza çıkar.

Bir tablette çokgenlerle çember alanları arasında bağlantı kuran problemlerin listelenmesi, tartışma götürmez biçimde teorik nitelik taşır.

Babilliler günümüzden yaklaşık 4000 yıl önce “basamak değerini” kullandılar . Babilliler bu basamaklı sayı sistemini hem  hem tamsayıları hem de kesirleri belirtmek için kullandılar. 

Sümerliler geometri problemlerinin çözümünde ortaya çıkan ikinci derece denklemleri çözmüşlerdi. Hammurabi döneminde de Babilliler, sayıların bizim cebirsel denklemlerle ifade ettiğimiz özelliklerini biliyorlardı. İkinci dereceden denklemleri tablolar yardımıyla ya da günümüzdeki gibi kareköklü bağıntılarla çözmesini biliyorlardı. İki değişkenli ikinci  dereceden denklemleri, hatta üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri kapsayan problemleri çözüyorlardı. X³ + x² = 252 kübik denkleminin, hatta xy+x-y =183 , x+y = 27 denklem sisteminin çözümünü biliyorlardı.

Bizim (a+b) ² = a2+2ab + b² ile belirttiğimiz eşitliği ve bu ilişkiyi ikinci dereceden denklemlerin “tam kareye tamamlanmasında” ve dolayısıyle çözümünde kullanıyorlardı. 
Babilliler bir dairenin alanını, çevresinin karesinin 1/12 sini alarak hesaplıyorlardı. Yani pi’nin değerini 12/4=3 alıyorlardı. Susa’da bulunan bir tablette ise л = 3+1/8=3.125 değerini kullanmışlar.

Mısırlılar, daire alanlarını gerçek değerlerine şaşırtıcı derecede yakın tahmin etmişlerdir. Çapı  d olan bir dairenin alanını (d-d/9)² = [(8/9)d]² bağıntısıyla; çapının “dokuzda sekizinin” karesini alarak hesaplıyorlardı. Bu da; bir daire alanının, kenar uzunluğu dairenin çapının 8/9’u olan karenin alanına eşit varsayıldığı anlamına gelir. 

En zorlu problemler sözcüklerle ifade ediliyordu. Örneğin bir tahıl öbeğinin boyutu veriliyor ve içeriğinin nasıl hesaplanacağı soruluyor, ya da bir tahıl yığınının çevresi ve eğimi verilip yüksekliğinin hesaplanması isteniyordu:

"Bir öbek. Çevresi 30.1 cubit’te eğim: 0,15. Yükseklik nedir? Sen 0,15 eğimi ikiyle çarp, 0,30 bulacaksın. 0,30’un tersini al. 2 bulacaksın. 0,30 çapı 2’yle çarp. 1 bulacaksın, yani yükseklik. Yöntem (budur)." 

Bu tür metinlerde görülen matematik bilgisi son derece gelişmiş ve cebir mantığına dayalıdır. Örneğin Babilliler 2’nin karekökünü doğru olarak hesaplamış ve geometrik hesaplamalarında kullanmışlardı. Dik açılı bir üçgende hipotenüsün karesinin diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğunu (Pisagor Teoremi) biliyorlardı. Bu hesaplamaların çoğunun temeli, sayıların altmışlık sistemle ve tersleriyle (yani 60’ın o sayıya bölünmesi) sıralandığı tablolarda verilen bilgiydi ve bunların oluşturulması  Babil okullarının pek çok başarısından biridir.

Eski Babil matematikçileri, bazı karmaşık geometrik ilişkileri biliyorlardı. Bu şekil kuramsal içerikli görünen az sayıdaki Eski Babil matematik metinlerinin birinden alınmıştır. Tablet, öğrencinin çeşitli şekiller için alan hesabı yapmasını gerektiren geometrik alıştırmalar içermektedir. “Kenarı 1 olan bir kare. İçinde 4 adet çeyrek daire ve 16 adet kayık şekli var. 5 tane eşkenarlı içbükey dörtgen çizdim. Bunun alanı nedir ?"

Mısırlı matematikçiler  kesik bir piramidin hacmini veren doğru bağıntıyı bulmuşlardı: Moskova Papirüsünün bu konuya ilişkin ünlü problemi şöyledir: “Bir kesik piramidin hesaplanmasıyla ilgili örnek. Biri sana der ki: bir kesik piramidin hacmi hesaplanacak: Yüksekliği 6 kübit, taban kenarının uzunluğu 4 kübit, üst kenarın uzunluğu 2 kübit. 4’ün karesini hesapla; 16 bulursun. 4'ün iki katı 8 olur. 2’nin karesini hesapla, 4 bulursun. 16, 8 ve 4 sonuçlarını topla. 28 elde edersin. 6’nın 1/3’ünü hesapla. 2 bulursun. 2 kez 28, 56 olur. Gördün mü ? Bulduğun 56, aradığın hacim olur.” V= h/3 (a2+ab+b2) a ve b kesik bir piramidin alt ve üst kenar uzunlukları, h=piramidin yüksekliği. Bu bağıntı Mısırlıların kesik piramidin hacminin doğru hesaplandığını gösterir.

Örneğin British Museum’da bulunan bir Babil tabletinin bir çevirisi şöyledir; “Uzunluk 4 ve köşegen 5. O zaman genişlik kaç? Ölçüsü bilinmiyor. 4 kere 4, 16 eder. 5 kere 5, 25 eder. 25 ten 16 çıkarırsan 9 kalır. 9 elde etmek için kaç kere kaç almalıyım? 3 kere 3, 9 eder. Genişlik 3."

Rind Papirüsündeki bir problem: “Çapı 9 birim olan dairesel bir arazi parçasının hesaplanmasına ilişkin yöntem. Arazinin alanını bul. Çapın 1/9’unu çaptan çıkar, 8 kalır. (8‘i 8 kez hesapla, 64 bulursun. İşte bu arazinin alanı olur.” Bu yönteme göre 64= pi (9/2)² ve dolayısıyla pi = 64 / (4.5)² = 3.160493827  bulunur.

Strasbourg Tableti’nin tümü üçgen biçimli tarlaların bölüştürülmesine ilişkin otuz problemi kapsar.

Şu anda British Museum’da bulunan, eski Babil tableti: Eşmerkezli daireler, etrafı hendek ve bentle çevrili bir köyü tanımlıyor. Köyü simgeleyen iç dairenin çevresi, köyle hendek arasında  sabit bir mesafe, hendeğin hacim ve derinliği, bentin eğilme derecesi veriliyor ve belirli geometrik hesaplar gerektiren bir problem soruluyor; “..hendeğin arkasına bir bent yaptım; eğilim derecesi, her dirsekte bir dirsek. Bentin taban, tepe ve yüksekliği nedir ?” Tablet yüksekliği 22,9 cm. 

Yararlanılan Kaynaklar :

Joan Oates. Babil. 2004

İbrahim Okur. Sümer Matematiği. 2008

Altay Gündüz. Eski Mezopotamya ve Mısır. 2002

Zecharia Sitchin eserleri. 

www.ams.org/samplings/happ5-history.pdf

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html

http://www.egyptorigins.org/plimpton322a.htm

oracc.museum.upenn.edu/dccmt

http://sahmath.com/?p=217